方向場と解曲線

1階微分方程式 dy/dx = f(x, y) の各点での傾きを矢印で並べた「方向場」。図をクリックすると、その初期点から RK4 法で解曲線が伸びます。

関数 f(x,y)：

方向場の格子密度 17×17

積分ステップ幅 h 0.10

選択中の f(x, y)

—

描いた解曲線の本数

最後の初期点 (x0, y0)

—

マウス位置の傾き

—

方向場（短い線分＝その点での傾き）＋クリックした初期点からの解曲線。範囲は x ∈ [−4, 4], y ∈ [−4, 4]

微分方程式 dy/dx = f(x, y) は「各点 (x, y) で解曲線が進むべき傾き」を決めるルールです。平面の格子点ごとにその傾きを短い線分で描いたものが方向場（傾きの場）です。
解曲線は、どの点でもその場所の線分に接するように進む曲線です。初期点 (x0, y0) を 1 つ決めれば解は 1 本に定まります（解の一意性）。図をクリックして初期点を置き、左右へ RK4 法（4 次ルンゲ＝クッタ法）で数値積分した解曲線を観察しましょう。複数クリックすると解曲線の族が浮かび上がります。

いま何が起きている？

ここがポイント

方向場は f だけで決まる ── 各点の矢印の向きは初期値に関係なく、ルール f(x, y) だけで定まる。
解曲線は矢印に接して進む ── どの初期点から出発しても、必ずその点の流れに沿って曲がっていく。
初期点が 1 つで解が 1 本 ── 解曲線どうしは（よい f なら）交わらず、平面を埋め尽くす族になる。
ステップ幅 h を大きくしすぎると誤差や発散 ── 数値積分は h を小さくするほど正確。h を上げて解曲線がガタつく様子も確かめよう。