座標から多角形の面積（靴ひも公式）

頂点の座標だけから多角形の面積を出す靴ひも公式を、辺ごとの符号付き面積を足し引きする演出で見せます。

図形

頂点

巡る向き

頂点数 n

—

符号付き面積 2A（Σ）

—

面積 A = |2A| / 2

—

向き（符号の意味）

—

多角形（頂点をドラッグ）／辺ごとの符号付き三角形を色分け

青＝足す（+）　赤＝引く（−）　頂点をドラッグして形を変えられます

各辺の寄与 (xᵢ·yᵢ₊₁ − xᵢ₊₁·yᵢ) を積み上げ → 合計が 2A

正の項を上に、負の項を下に積む。差し引きの残りが符号付き面積 2A。

多角形の頂点を順に (x₁,y₁), (x₂,y₂), …, (xₙ,yₙ) とすると、面積は座標だけで出せます：
靴ひも公式 A = ½ |Σ (xᵢ·yᵢ₊₁ − xᵢ₊₁·yᵢ)|（添字は循環、n+1 = 1）。
各項 xᵢ·yᵢ₊₁ − xᵢ₊₁·yᵢ は、辺 i→i+1 と原点が作る三角形の符号付き面積の 2 倍。辺が x 軸に対して「右向き」に進むか「左向き」に進むかで + と − が決まり、はみ出した分が自動で打ち消されます。だから凹多角形でも正しい面積になります。

いま何が起きている？

ここがポイント

各辺の項 xᵢ·yᵢ₊₁ − xᵢ₊₁·yᵢ は符号付き。+ の三角形と − の三角形が打ち消し合って正味の面積が残る。
合計 Σ の符号は巡る向きを表す ── 反時計回りなら +、時計回りなら −。だから最後に絶対値をとる。
凹多角形でも自己交差さえなければ同じ式で正しい。へこんだ部分は負の寄与で自動的に引かれる。
原点をどこに置いても答えは変わらない（差 xᵢ·yᵢ₊₁ − xᵢ₊₁·yᵢ の総和は平行移動で不変）。