方べきの定理
点 P を通る 2 本の直線が円と交わるとき、PA × PB = PC × PD が常に成り立つことを、点をドラッグして確かめます。
110
20°
120°
図の中の 点 P（紫）を直接ドラッグしても動かせます。
PA × PB（直線①）
—
PC × PD（直線②）
—
方べきの値 |OP² − r²|
—
P の位置
—
点 P と円・2 直線（P・スライダーを動かすと即更新）
1 つの点 P を通る 2 本の直線が円と交わるとき、それぞれの交点までの距離の積はどちらの直線でも等しくなります。これが方べきの定理です。
その共通の値は |OP² − r²|（O は中心、r は半径）に等しく、これを点 P の方べき（power of a point）と呼びます。
P が円の内側なら 2 弦の交点定理、外側なら 2 割線の定理、片方の直線が円に接すると接線定理
その共通の値は |OP² − r²|（O は中心、r は半径）に等しく、これを点 P の方べき（power of a point）と呼びます。
P が円の内側なら 2 弦の交点定理、外側なら 2 割線の定理、片方の直線が円に接すると接線定理
PT² = PA × PB ── これらはすべて同じ 1 つの式の特別な場合です。
いま何が起きている？
ここがポイント
- PA × PB = PC × PD ── どの直線を引いても積は一定。それが「方べき」。
- 方べきの値は |OP² − r²| ── 直線の向きには無関係で、P の位置だけで決まる。
- P が内側＝交点定理、外側＝割線定理、接すれば PT² = PA × PB（接線定理）── 連続的につながる同じ定理。
- 円周上に P が来ると方べき＝0（PA か PB が 0 になる）。内側は積を「等しい弦分割」、外側は「割線の延長」で見るのがコツ。