平面充填（敷き詰め）

1つのタイル形状を選んで頂点をドラッグし、平面全体に敷き詰められるかを「1頂点に集まる角の合計 = 360°」で判定します。

タイルの形を選ぶ（頂点はドラッグして変形できます）

敷き詰めの広さ 3

頂点に集まる角の数

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角の合計

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360° との差

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敷き詰め可否

—

1頂点まわりの角の合計（満タン = 360° でぴったり敷き詰め）

タイル（青点をドラッグ）と1つの内角

平面の敷き詰めパターン（隙間・重なりなく並ぶか）

同じ形のタイルを隙間も重なりもなく平面いっぱいに並べることを平面充填（敷き詰め／タイリング）といいます。
1つの頂点には複数のタイルの角（内角）が集まります。その角の合計がちょうど 360° になれば、その点のまわりはきれいに埋まります。合計が 360° より小さければ隙間が、大きければ重なりができます。
形を選び、頂点をドラッグして角の大きさを変え、ゲージが満タン（360°）になる形を探してみましょう。

いま何が起きている？

ここがポイント

頂点まわりの角の合計 = 360° なら隙間も重なりもなく敷き詰められる。
正多角形でこれが成り立つのは 正三角形・正方形・正六角形 の3つだけ（内角が 360° を割り切る）。
正五角形・正八角形は内角が 360° を割り切れず、単独では敷き詰められない。
どんな三角形・どんな四角形も必ず敷き詰められる ── 三角形は内角の和が 180°、四角形は 360° で、半回転コピーが頂点に集まるため。