タレスの定理（直径と直角）
円の直径 AB を見込む円周上の点 P では、角 ∠APB が常に 90°になります ∠APB = 90° を、点 P をドラッグして体感します。
55°
0°
図の中の点 P（赤い丸）を直接ドラッグしても動かせます。
角 ∠APB（測定値）
—
直径 AB
—
PA² + PB²
—
外接円・直径 AB・点 P
P を一周させたときの ∠APB（常に 90°）
円の直径 AB を両端とし、円周上の任意の点 P を結んでできる三角形 APB は、
点 P がどこにあっても角 ∠APB が必ず直角（90°）になります。
これがタレスの定理です。
理由は、中心 O が AB の中点で
点 P を動かしたり、直径を傾けたり、P を裏側に回しても直角が保たれることを確かめてみましょう。
理由は、中心 O が AB の中点で
OA = OB = OP = 半径 となるため、三角形 OAP と OBP がそれぞれ二等辺三角形になり、
底角を足し合わせると ∠APB = 90° になることから説明できます。点 P を動かしたり、直径を傾けたり、P を裏側に回しても直角が保たれることを確かめてみましょう。
いま何が起きている？
ここがポイント
- 直径を見込む円周角は 90° ── P が円周上のどこにあっても ∠APB は変わらず直角。
- 円周角の定理の特別な場合 ── 中心角 ∠AOB = 180°（直線 AB）なので、円周角はその半分の 90°。
- 逆も成り立つ ── ∠APB = 90° なら、P は AB を直径とする円周上にある（直角三角形の外接円の中心は斜辺の中点）。
- ピタゴラスと両立 ── 直角なので常に
PA² + PB² = AB²が成り立つ。