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正三角形の転がり移動と折り返し（桜蔭中 2024）
正三角形を正方形の内側・外側で転がし、辺で折り返す。点Cがえがく曲線で囲まれた図形の面積を、アニメーションで求める。
📐 問題（桜蔭中 2024年度 大問3）
1辺 1cm の正三角形 ABC と、1辺 3cm の正方形 PQRT があります。正三角形を図の （い） に置きます（A が P に重なり、C は辺 TP 上）。
正方形の 内側をすべらずに転がして （う）、辺 PQ で折り返して （え）、外側を転がして （お）、辺 RQ で折り返して （か）、再び 内側を転がして （き）、同様に折り返して （く）、外側を転がして （け） まで動かします。
このとき 点 C がえがく曲線で囲まれる図形の面積を求めなさい。
正方形の 内側をすべらずに転がして （う）、辺 PQ で折り返して （え）、外側を転がして （お）、辺 RQ で折り返して （か）、再び 内側を転がして （き）、同様に折り返して （く）、外側を転がして （け） まで動かします。
このとき 点 C がえがく曲線で囲まれる図形の面積を求めなさい。
正三角形ABCは（い）から出発し、青い矢印の向き（反時計回り）に転がる。（い）〜（け）は各段階での位置。
cm²
🎬 転がり＆折り返しアニメーション
① 内側を転がす（い → う）
青い三角形＝正三角形ABC ／ 赤い点C・赤い線＝点Cの軌跡 ／ 折り返しの軸上に点Cが来るので、折り返しでは点Cは動きません。
🧩 面積の求め方（ピースを動かす）
雲形のはみ出した部分を おうぎ形（緑・橙） と 正三角形（青・1辺1cm＝転がった正三角形ABCと合同） に切り分け、へこんだ部分（点線）へパズルのように動かします。ぴったりはまって 1辺3cmの正方形＋半径1cmの半円2つ（黄） になります。各へこみは「120°おうぎ形＋正三角形＋30°おうぎ形」でちょうど埋まります。
面積 ＝ （正方形）＋（半円2つ）＝ 3×3 ＋ 1×1×3.14
＝ 9 ＋ 3.14 ＝ 12.14 cm²
💡 解き方のポイント
- 転がりは半径1cmの弧：正三角形は頂点を中心に回転するので、点Cは「Cでない頂点を中心とした半径1cm（＝1辺）の弧」をえがきます。
- 折り返しでCは動かない：折り返しの軸（PQ・RQ・RT）の上にちょうど点Cが来るため、折り返しても点Cの位置は変わりません。だから軌跡は1本の閉じた曲線になります。
- 角を回るときは大きな弧：正方形の角を外側で回るとき、点Cは210°もの大きな弧をえがき、これが雲形の2つの大きなふくらみになります。
- 組みかえて 9 + 3.14：雲形は「3×3の正方形」＋「半径1cmの半円2つ」。よって面積は 12.14 cm²。