円周角の定理

円周上の点をどこに動かしても 同じ弧を見込む角（円周角）は変わらず、中心角のちょうど半分になることを確かめます。

点 P の位置 90°

点 A の位置 200°

点 B の位置 340°

同じ弧上の別の点でも円周角を表示する

円周角 ∠APB

—

中心角 ∠AOB

—

中心角 ÷ 2

—

円周上に 2 点 A・B をとり、弧 AB を別の点 P から見込む角 ∠APB を円周角、中心 O から見込む角 ∠AOB を中心角といいます。
円周角の定理：① 円周角は中心角の半分（∠APB = ∠AOB ÷ 2）。 ② 同じ弧に対する円周角は、P をどこに動かしてもすべて等しい。
同じ弧の上で P を動かす限り、オレンジの角度（円周角）が変わらないことを見てください。

いま何が起きている？

ここがポイント

円周角は 中心角のちょうど半分。P を弧上のどこに動かしても成り立つ。
だから 同じ弧に対する円周角はすべて等しい（チェックボックスで確認）。
弧 AB が 半円（中心角 180°）のとき、円周角は必ず 90° ──「直径に対する円周角は直角」（タレスの定理）。
A・B も動かせる。中心角が変われば円周角も連動して半分のまま追従する。
（発展）P を 小さい弧（劣弧）側に動かすと円周角は鈍角になり、見込む大きい弧の中心角＝反射角（360°−∠AOB）のちょうど半分になる。劣弧側と優弧側の円周角の和は 180°（円に内接する四角形の対角の和）。