基底を変えると座標が変わる
同じ1つの点でも、基底ベクトル b₁, b₂ を変えると成分（座標）は変わる。基底をドラッグして「座標は見方しだい」を体感します。
3.0
2.0
図の中の 青い矢印 b₁ と 紫の矢印 b₂ の先端をドラッグすると基底が変わります。点 P（赤）は固定されたまま、成分だけが変わります。
標準座標 (e₁, e₂)
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新基底の座標 (b₁, b₂)
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b₁ = (青)
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b₂ = (紫)
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平面（基底ベクトルをドラッグ）
同じ点 P を「2つの座標」で読む
平面上の点 P は、矢印（ベクトル）として「ここ」と1つに決まっています。けれど、その点を数（座標）で表すには、まず「ものさし」となる基底ベクトル b₁, b₂ を選ばなければなりません。
座標
だから基底を変えれば、点はそのままでも座標の数字は変わります。座標は点そのものではなく「見方」なのです。青と紫の矢印を動かして確かめましょう。
座標
(c₁, c₂) とは「b₁ を c₁ 倍、b₂ を c₂ 倍して足すと P になる」という意味、つまり P = c₁·b₁ + c₂·b₂ です。だから基底を変えれば、点はそのままでも座標の数字は変わります。座標は点そのものではなく「見方」なのです。青と紫の矢印を動かして確かめましょう。
いま何が起きている？
ここがポイント
- 点は不変、座標は可変 ── 矢印 P の位置は変わらないのに、基底を変えると成分の数字が変わる。
- 座標 = 基底の組み合わせ係数 ──
(c₁, c₂)はP = c₁·b₁ + c₂·b₂を満たす係数。 - 新座標は逆行列で求まる ── 基底を並べた行列
B = [b₁ b₂]に対しc = B⁻¹·P。 - 基底がつぶれると座標は決まらない ── b₁ と b₂ が平行（一次従属）だと B⁻¹ が存在せず、一意な座標が取れない。