固有ベクトル＝倒れない軸
行列 A を掛けると多くの向きは倒れて変わるのに、固有ベクトルだけは向きが変わらず長さが λ 倍になる A v = λ v を体感します。
行列 A の成分（A = [[a, b], [c, d]]）
2.0
1.0
1.0
2.0
20°
プリセット
固有値 λ1
—
固有値 λ2
—
固有ベクトルの向き
—
Av と v は平行？
—
凡例
- 灰の矢印 … テストベクトル v(θ)
- 緑の矢印 … 変換後 Av
- 赤の点線 … 固有ベクトルの直線（倒れない軸）
θ を回して灰矢印を赤い点線に重ねると、緑矢印（Av）も同じ直線に乗り、向きが変わらなくなります。これが「倒れない軸」です。
ドラッグ操作：v の矢印の先端をドラッグして角度を直接変えられます。
変換の様子（原点中心・1マス = 1）
行列 A を掛けると、平面上のベクトルは伸びたり回ったりして向きが変わります。
ところが特別な向きのベクトルだけは、A を掛けても向きが変わらず長さだけが λ 倍になります。
これが固有ベクトルで、満たす式が
λ を固有値といい、その軸方向にどれだけ伸びるか（負なら逆向き）を表します。
スライダーで A の成分とテストベクトルの角度 θ を変え、灰の矢印 v と緑の矢印 Av が一直線にそろう「倒れない軸」を探してみましょう。
A v = λ v です。λ を固有値といい、その軸方向にどれだけ伸びるか（負なら逆向き）を表します。
スライダーで A の成分とテストベクトルの角度 θ を変え、灰の矢印 v と緑の矢印 Av が一直線にそろう「倒れない軸」を探してみましょう。
いま何が起きている？
ここがポイント
- 固有ベクトル ── 変換しても向きが変わらない特別な方向（倒れない軸）。
- 固有値 λ ── その軸方向の伸び。λ が負なら逆向きに反転する。
- 回転行列は実固有ベクトルを持たない ── すべての向きが回ってしまうため（固有値が複素数）。
- 対称行列（b = c）の固有ベクトルは互いに直交する。