行列の積＝変換の合成（AB≠BA）
行列の積は変換の「合成」です。BA は「先に A、次に B」を適用 ── 順序を変えると結果も変わることを 2 枚並べて確かめます。
40
90°
A→B
合成 BA（A→B）
—
合成 AB（B→A）
—
AB と BA は…
—
順序 A→B ＝ 行列 BA
順序 B→A ＝ 行列 AB
1 つの行列は平面の変換（回転・せん断・拡大・反転など）を表します。2 つの変換を続けて行うと、その全体もまた 1 つの行列で表せます ── これが行列の積（積＝合成）です。
積
一般に AB ≠ BA。つまり順序が結果を変えます。左右のキャンバスで、同じ「F」字を A→B と B→A で変換し、形が一致しないことを見比べましょう。
積
BA は「先に A を作用させ、次に B を作用させる」変換です（行列は右から順にベクトルへ作用します）。一般に AB ≠ BA。つまり順序が結果を変えます。左右のキャンバスで、同じ「F」字を A→B と B→A で変換し、形が一致しないことを見比べましょう。
いま何が起きている？
ここがポイント
- 積＝合成 ── 行列はベクトルへ右から順に作用する。
BA·vは「v に A、その結果に B」。 - 一般に AB ≠ BA ── 行列の積は交換できない。順序が大事で、結果の形が変わる。
- 回転 × 回転は可換 ── どちらの順でも合成角度は
θA + θBで同じになる（特別なケース）。 - 単位行列 I ── 何も動かさない変換。
IA = AI = Aで結果に影響しない。