行列で平面が変形する（線形変換）
2×2 行列 A = [[a, b], [c, d]] は平面の線形写像。格子・単位正方形・基底ベクトルがどう動くかを体感します。
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行列 A
det A = ad − bc
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î の行き先 (a, c)
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ĵ の行き先 (b, d)
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原点固定・1マス = 一定px。薄い灰色＝元の格子、色付き＝A 適用後の格子（平行四辺形に歪む）。緑＝変換後の単位正方形、赤＝î の行き先、青＝ĵ の行き先。矢印の先端をドラッグして直接操作できます。
2×2 行列 A = [[a, b], [c, d]] をベクトルに掛けると、平面全体が引き伸ばされたり回されたりします。これが線形変換（線形写像）です。
変換のしくみは「基底ベクトルの行き先」だけで決まります。横向きの単位ベクトル î = (1, 0) は A の 1 列目 (a, c) へ、縦向きの ĵ = (0, 1) は A の 2 列目 (b, d) へ移ります。
スライダーや下のプリセットで A を変え、格子と 2 本の基底ベクトルがどう動くか確かめてみましょう。
変換のしくみは「基底ベクトルの行き先」だけで決まります。横向きの単位ベクトル î = (1, 0) は A の 1 列目 (a, c) へ、縦向きの ĵ = (0, 1) は A の 2 列目 (b, d) へ移ります。
スライダーや下のプリセットで A を変え、格子と 2 本の基底ベクトルがどう動くか確かめてみましょう。
いま何が起きている？
ここがポイント
- 列ベクトル = 基底の行き先 ── 1 列目 (a, c) が î の、2 列目 (b, d) が ĵ の移動先。
- 直線は直線のまま・格子は等間隔のまま・原点は動かない ── 線形変換が保つ性質。
- det A は面積の拡大率 ── 単位正方形が det 倍の面積になる。符号がマイナスなら向き（裏表）が反転。
- det = 0 だと平面が線（または点）に潰れる ── 2 本の基底が一直線に重なり、面積がゼロになる。