ランクと核：つぶれる方向
行列 A = [[a, b], [c, d]] が平面をどう変形するか。特異なときは平面全体が直線や点に「つぶれ」、どの入力が 0 に飛ぶか＝核が見えます。
2×2 行列 A の成分（左列が e₁=(1,0) の行き先、右列が e₂=(0,1) の行き先）
1.4
0.7
-0.6
1.1
det A（拡大率・符号）
—
ランク（像の次元）
—
核の次元（nullity）
—
像（出力の形）
—
入力平面（変形前）— v をドラッグできます
出力平面（A で変形後）— つぶれた像と Av
行列
つぶれると、ある方向の入力はすべて原点
ランク = 像（出力）の次元、核の次元 = つぶれた方向の数で、つねに
A は平面の各点 v を Av へ動かす「変換」です。普通は面積が拡大・縮小されるだけ（フルランク）ですが、
det A = ad − bc = 0 になると平面全体が直線（rank 1）や点（rank 0）につぶれます。つぶれると、ある方向の入力はすべて原点
0 に飛びます。この「0 に飛ぶ入力ベクトルの集まり」が核（kernel / null space）です。ランク = 像（出力）の次元、核の次元 = つぶれた方向の数で、つねに
ランク + 核の次元 = 2（次元定理）が成り立ちます。
いま何が起きている？
ここがポイント
- det A = 0 ── このとき平面はつぶれ、行列は「特異」になる（逆行列を持たない）。
- ランク＝像の次元 ── 出力が平面なら2、直線なら1、点なら0。つぶれた分だけランクが下がる。
- 核＝0 に飛ぶ入力の集まり ── 核の中のベクトルは A をかけると消える。核の次元が「つぶれた方向の数」。
- 次元定理 rank + nullity = 2 ── 入力の次元(2)は、つぶれずに残る分(rank)と消える分(nullity)に必ず分かれる。