特異値分解＝回転・伸縮・回転
どんな 2×2 行列 A も「回転 → 軸方向に伸縮 → 回転」の 3 ステップに分解できます A = U Σ Vᵀ。単位円が楕円に化ける様子で体感します。
行列 A の成分（単位円をこの A で写すと楕円になります）
1.20
0.70
0.00
1.00
プリセット
① 単位円そのまま
② Vᵀ回転（軸合わせ）
③ Σ軸方向に伸縮
④ U回転（向き直し）
特異値 σ₁（半長軸）
—
特異値 σ₂（半短軸）
—
面積拡大率 σ₁·σ₂ = |det A|
—
条件数 σ₁/σ₂（つぶれ具合）
—
分解 A = U Σ Vᵀ
単位円 → 楕円（3 段階で写像）
行列
単位円はこの分解を通すと楕円になり、その半長軸・半短軸の長さがそのまま特異値 σ₁・σ₂ になります。 スライダーで A を変え、楕円のかたちと σ がどう動くか確かめましょう。
A を「ベクトルを写す道具」と見ると、どんな 2×2 行列も必ず
回転 → 軸方向の伸縮 → 回転 という 3 つの単純な動作の合成に分解できます。これが
特異値分解 A = U Σ Vᵀ です。Vᵀ と U は回転（向きを変えるだけ・長さは変えない）、
まん中の Σ は各軸を σ₁・σ₂ 倍に伸び縮みさせる対角行列です。単位円はこの分解を通すと楕円になり、その半長軸・半短軸の長さがそのまま特異値 σ₁・σ₂ になります。 スライダーで A を変え、楕円のかたちと σ がどう動くか確かめましょう。
いま何が起きている？
ここがポイント
- A = U Σ Vᵀ ── 任意の行列は「回転・伸縮・回転」の 3 段階に分解できる（これが SVD）。
- 特異値 = 楕円の半軸 ── 単位円が写った楕円の半長軸が σ₁、半短軸が σ₂。伸縮の倍率そのもの。
- 面積拡大率 = σ₁·σ₂ = |det A| ── 回転は面積を変えず、伸縮 Σ だけが面積を σ₁·σ₂ 倍にする。
- σ₂ → 0 で楕円は線につぶれる ── これが「特異」な行列。条件数 σ₁/σ₂ が大きいほど扁平で不安定。